薛丁格─帕松方程式是一組非線性微分方程式，很多重要的物理問題是以它為骨幹。其中一個令
我們感興趣的問題是重力在量子力學中的效應。由波函數所描述的物質密度分佈透過帕松方程式來決定重力位能，而位能又反過來經由薛丁格方程式改變物體的波函數。這樣的反饋作用將非線性效應引進了量子力學中，這些非線性效應具有豐富的數學結構待探索。最簡單例子是三度空間中 (1) 單一質點，系統的方程式是三維球對稱；(2) 在z 方向的一條質量線，系統的方程式變成二維柱對稱；(3) 在y-z 平面上的一個質量面，系統的方程式變成一維。我利用兩種數值方法來研究這些方程式的解，計算它的能譜和對應波函數的寬度及高度的尺度變化。第一種方法是根基於標準的四階 Runge-Kutta 演算法的shooting approach，第二種方法是根基於三階段Lobatto IIIa 隱性 Runge-Kutta 公式和適應性格點的boundary-value-problem (BVP) approach。第一種方法shooting approach 可將問題簡化成一維的搜尋，藉著調整位能的初始值來找尋符合邊界條件的解。但是因為解在邊界的行為會隨著初始值劇烈變化，所以此種方法只在短距離內有效。第二種方法BVPapproach 是將邊界條件直接內建於程式之中，它的困難在於需要一個相當接近真正解的初始猜測解，來保障一個收斂的過程，所以我用第一種方法找到的短距離解來輔助猜測，兩種方法相輔相成。無論用 shooting approach 或BVP approach，邊界都不可能真的設在無窮遠，因此找到解之後，我們會以幾何倍率擴大解的範圍，以確認它在遠處的收斂性。

The Schr¨odinger-Poisson equations are a set of nonlinear equations that form the back-bone of many important physics problems. An interesting problem is the effect of gravity in quantum mechanics. The density distribution described by the wavefunction y produces a gravitational potential V through the Poisson equation, and the potential V in turn changes the wavefunction y itself through the Schr¨odinger equation.
Such a feedback mechanism provides a nonlinear effect that leads to solitary solutions. In this paper 1-D and 2-D solitary solutions of the Schr¨odinger-Poisson equations are computed by both the shooting
method and the boundary-value method. The shooting method is efficient for finding solutions in the short range, but unstable in the long range. Whereas, long-range solutions can be computed accurately by the
boundary-value method with the short-range initial guess provided by the shooting method. Hence for this problem these two methods play complementary roles in the numerical computation.